Publicación: Generación de campos aleatorios Gaussianos a través de ecuaciones diferenciales parciales estocásticas
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Resumen en español
Los campos aleatorios gaussianos (CAG) son un concepto probabilístico que tiene aplicación en varias disciplinas científicas, como la astrofísica. Debido a la importancia tanto de aspectos teóricos, como computacionales y de modelado que se entrelazan en la utilización de los CAG, en este trabajo de grado se estudiaron esos tres aspectos como forma de poner en práctica y culminar el aprendizaje obtenido durante todo el programa de pregrado en matemáticas en la Fundación Universitaria Konrad Lorenz. En primer lugar, se han reproducido las definiciones y resultados principales que se deben tener en cuenta para generar un CAG. Gracias a ello, se ha implementado un algoritmo basado en la factorización de la matriz de covarianza deseada, obteniendo computacionalmente varias realizaciones de CAG isotrópicos y homogéneos. En segundo lugar, se ha realizado un repaso sobre el método de diferencias finitas (MDF) para resolver problemas con valor en la frontera tanto en una como en dos dimensiones. Ese repaso comprende la implementación de múltiples algoritmos para generar resultados en una gran diversidad de casos, incluyendo particularmente el caso de la ecuación de Difusión-Reacción con condiciones de frontera periódicas. Finalmente, sabiendo que en el estudio de los discos astrofísicos se puede modelar su brillo con un CAG que soluciona cierta ecuación diferencial parcial estocástica (EDPE), se lleva a cabo su aproximación numérica usando el MDF. Es posible, entonces, evidenciar que la generación de CAG basada en el MDF es mucho más eficiente que la basada en factorización de la matriz de covarianza, lo cual puede permitir, en el futuro, la generalización de este algoritmo para CAG anisotrópicos y no homogéneos, que son mucho más apropiados para la aplicación astrofísica mencionada.
Resumen en inglés
Gaussian random fields (GFRs) are a probabilistic concept that has application in several scientific disciplines, such as astrophysics. in several scientific disciplines, such as astrophysics. Due to the importance of both theoretical, computational and modeling theoretical, computational and modeling aspects that are intertwined in the use of GACs, in this work of CAGs, in this degree work these three aspects were studied as a way to put into practice and culminate the learning and culminate the learning obtained throughout the undergraduate program in mathematics at Konrad University Foundation at the Konrad Lorenz University Foundation. First, the main definitions and results to be taken into account in generating a CAG have been reproduced. to be taken into account in order to generate a CAG. Thanks to this, an algorithm based on the factorization of the desired covariance matrix has been implemented. factorization of the desired covariance matrix, computationally obtaining several isotropic and homotropic CAG realizations. several isotropic and homogeneous CAG realizations. Secondly, a review of the finite difference method secondly, a review of the finite difference method (FDM) for solving boundary-valued problems in both one and two dimensions was boundary-valued problems in both one and two dimensions. This review includes the implementation of multiple of multiple algorithms to generate results in a wide variety of cases, including in particular the case of the particularly the case of the Diffusion-Reaction equation with periodic boundary conditions. Finally, knowing that in the study of astrophysical disks, it is possible to model their brightness with a CAG that solves their brightness with a CAG that solves a certain stochastic partial differential equation (PDEE), its numerical approximation is carried out using the SDM. It is possible, then, to show that CAG generation based on the MDF is much more efficient than that based on covariance matrix factorization. more efficient than that based on factorization of the covariance matrix, which may allow, in the future, the generalization of this algorithm for anisotropic and inhomogeneous CAGs, in the future, the generalization of this algorithm for anisotropic and inhomogeneous CAGs, which are much more appropriate for the astrophysical application mentioned above.
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